コンピュータ内部の情報は2進数で表現される。2進数は各桁が下位から20、21、22…の重みをもつ位取り記数法で、1011(2)は1×8+0×4+1×2+1×1=11(10)。16=24なので16進数1桁は2進数のちょうど4桁(4ビット)に対応し、2A(16)=00101010(2)=2×16+10=42(10)。1バイトは8ビット(記号B)で、nビットでは2n通りを表現できるため、1バイトなら28=256通り(符号なし整数で0〜255)。負数は「全ビットを反転して1を加える」2の補数で表し、nビットで表せる範囲は−2n−1〜+2n−1−1(8ビットなら−128〜+127)。また、あふれが生じない範囲で左へnビットシフトすると値は2n倍(左2ビット=4倍)、右へnビット算術シフトすると2nで割った値になる。
論理演算の真理値は、AND(論理積)=両入力が1のときだけ1、OR(論理和)=少なくとも一方が1なら1、XOR(排他的論理和)=2つの入力が異なるときだけ1(0⊕1=1、1⊕1=0)、NOT=入力の反転。ド・モルガンの法則 ¬(A∧B)=¬A∨¬B、¬(A∨B)=¬A∧¬B は、条件の否定やベン図の問題を機械的に解く鍵になる。
確率・統計では、順列 nPr=n!/(n−r)! と組合せ nCr=n!/(r!(n−r)!) を使い分ける。異なる5個から2個を選ぶ組合せは5C2=5!/(2!×3!)=10通り。期待値は「取り得る各値×その値になる確率」の総和で、公正なサイコロ1個の出目の期待値は(1+2+3+4+5+6)/6=3.5。代表値は、平均値=総和÷データ数、中央値=大きさ順に並べた中央の値(偶数個なら中央2つの平均)、最頻値=最も度数が多い値で、外れ値の影響を受けにくいのは平均値ではなく中央値。ばらつきは分散(偏差の2乗の平均)と、その正の平方根である標準偏差で測り、正規分布ではμ±σに約68.3%、μ±2σに約95.4%のデータが含まれる。
音声などのアナログ信号のデジタル化(PCM方式)は、標本化(一定間隔で値を取り出す)→量子化(段階値に丸める)→符号化(2進符号に変換)の順で行う。標本化定理により、元の信号に含まれる最高周波数の2倍以上の周波数で標本化すれば元の波形を復元でき、音楽CD(CD-DA)は標本化周波数44.1kHz・量子化ビット数16ビット。文字コードのASCIIは英数字・記号などを7ビットで表し、27=128種類を収容できる(漢字は表現できない)。AIの基礎理論では、データから規則性を学習する機械学習、その代表的手法であるニューラルネットワーク、これを多層化して用いるディープラーニングという階層関係を整理しておく。
1. 2進数の 1010 を10進数で表した値はどれか。
2進数の各桁は右から順に1,2,4,8の重みをもち、1010＝1×8＋0×4＋1×2＋0×1＝10となる。 (IPA「ITパスポート試験 シラバス Ver.6.5」テクノロジ系 基礎理論／離散数学（基数変換・位取りと重み）)
2. 16進数の1桁は、2進数の何桁分に相当するか。
16＝2の4乗なので、16進数1桁は2進数4桁（4ビット）に対応する。 (IPA「ITパスポート試験 シラバス Ver.6.5」テクノロジ系 基礎理論／離散数学（基数・基数変換、16進数）)
3. 1バイトは何ビットか。
1バイトは8ビットと定義され、8ビットで256通りの情報を表せる。 (IPA「ITパスポート試験 シラバス Ver.6.5」テクノロジ系 基礎理論／離散数学（2進数・情報の表現、1バイト＝8ビット）https://www.ipa.go.jp/shiken/syllabus/index.html)
4. 8ビット（2進数8桁）で表現できる情報の組合せは何通りか。
各ビットが0か1の2通りで、8ビットでは2の8乗＝256通りを表現できる。 (IPA「ITパスポート試験 シラバス Ver.6.5」テクノロジ系 基礎理論／離散数学（2進数・情報の表現、1バイト＝8ビット）https://www.ipa.go.jp/shiken/syllabus/index.html)
5. 符号なしの8桁（8ビット）2進数で表せる10進数の範囲はどれか。
符号なしnビットは0〜（2のn乗−1）を表し、8ビットでは0〜255の256通りとなる。 (ITパスポート試験ドットコム 平成24年春期 問52（8桁の2進数で表せる範囲）https://www.itpassportsiken.com/kakomon/24_haru/q52.html)
6. 10進数の13を2進数で表した値はどれか。
13＝8＋4＋1＝1×8＋1×4＋0×2＋1×1なので、2進数では1101となる。 (IPA「ITパスポート試験 シラバス Ver.6.5」テクノロジ系 基礎理論／離散数学（基数変換・位取りと重み）)
7. 16進数の FF を10進数で表した値はどれか。
Fは10進数の15を表し、FF＝15×16＋15＝255となる。 (IPA「ITパスポート試験 シラバス Ver.6.5」テクノロジ系 基礎理論／離散数学（基数・基数変換、16進数）)
8. 16進数で用いる記号Aは、10進数のいくつを表すか。
16進数は0〜9とA〜Fの16種類で表し、A・B・C・D・E・Fは10・11・12・13・14・15に対応する。 (IPA「ITパスポート試験 シラバス Ver.6.5」テクノロジ系 基礎理論／離散数学（基数・基数変換、16進数）)
9. 2進数の 11110000 を16進数で表した値はどれか。
2進数を下位から4桁ずつ区切ると0000＝0、1111＝Fとなり、16進数ではF0と表せる。 (IPA「ITパスポート試験 シラバス Ver.6.5」テクノロジ系 基礎理論／離散数学（基数・基数変換、16進数）)
10. 2進数を左へ1ビットシフトすると、値はもとの何倍になるか。
左へ1ビットシフトすると各桁の重みが1つ上がり、値は2倍になる（nビットのシフトで2のn乗倍）。 (IPA「ITパスポート試験 シラバス Ver.6.5」テクノロジ系 基礎理論／離散数学（シフト演算）)
11. 2進数の 10110 を10進数で表した値はどれか。
1×16＋0×8＋1×4＋1×2＋0×1＝16＋4＋2＝22となる。 (IPA「ITパスポート試験 シラバス Ver.6.5」テクノロジ系 基礎理論／離散数学（基数変換・位取りと重み）)
12. 16進数の1桁で表せる情報は何通りか。
16進数は0〜9とA〜Fの16種類の記号を使うため、1桁で16通りを表せる。 (IPA「ITパスポート試験 シラバス Ver.6.5」テクノロジ系 基礎理論／離散数学（基数・基数変換、16進数）)
13. 2つの集合AとBの和集合（A∪B）に含まれるのはどの要素か。
和集合は、AまたはBの少なくとも一方に属するすべての要素の集まりである。 (IPA「ITパスポート試験 シラバス Ver.6.5」テクノロジ系 基礎理論／離散数学（集合・和集合・積集合・補集合・ベン図）)
14. 2つの集合AとBの積集合（A∩B）に含まれるのはどの要素か。
積集合は、AとBの両方に共通して属する要素だけの集まりである。 (IPA「ITパスポート試験 シラバス Ver.6.5」テクノロジ系 基礎理論／離散数学（集合・和集合・積集合・補集合・ベン図）)
15. 全体集合の中で、集合Aの補集合に含まれるのはどの要素か。
補集合は、全体集合のうち集合Aに属さない要素すべての集まりである。 (IPA「ITパスポート試験 シラバス Ver.6.5」テクノロジ系 基礎理論／離散数学（集合・和集合・積集合・補集合・ベン図）)
16. 論理積（AND）で、入力AとBがともに1のときの出力はどれか。
論理積は両方の入力が1のときだけ1を出力し、それ以外は0となる。 (IPA「ITパスポート試験 シラバス Ver.6.5」テクノロジ系 基礎理論／離散数学（論理演算 AND・OR・NOT・XOR、真理値表）)
17. 論理和（OR）で、入力Aが1、Bが0のときの出力はどれか。
論理和は少なくとも一方の入力が1なら1を出力するため、1と0の入力では1になる。 (IPA「ITパスポート試験 シラバス Ver.6.5」テクノロジ系 基礎理論／離散数学（論理演算 AND・OR・NOT・XOR、真理値表）)
18. 否定（NOT）演算の説明として正しいものはどれか。
NOTは入力1つに対し0を1に、1を0に反転して出力する（他は順にAND・OR・XORの説明）。 (IPA「ITパスポート試験 シラバス Ver.6.5」テクノロジ系 基礎理論／離散数学（論理演算 AND・OR・NOT・XOR、真理値表）)
19. 排他的論理和（XOR）の出力が1になるのはどのような場合か。
XORは2入力が異なるとき1、同じとき0を出力する。 (ITパスポート試験ドットコム 平成25年春期 問82（排他的論理和 XOR）https://www.itpassportsiken.com/kakomon/25_haru/q82.html)
20. あるビットと「0」との論理積（AND）をとった結果はどうなるか。
AND演算では相手が0だと結果は必ず0になる（不要なビットを0にするマスクに使われる）。 (IPA「ITパスポート試験 シラバス Ver.6.5」テクノロジ系 基礎理論／離散数学（論理演算 AND・OR・NOT・XOR、真理値表）)
21. あるビットと「1」との排他的論理和（XOR）をとると、そのビットはどうなるか。
XORは異なると1・同じと0なので、1とのXORは0↔1のビット反転になる。 (ITパスポート試験ドットコム 平成25年春期 問82（排他的論理和 XOR）https://www.itpassportsiken.com/kakomon/25_haru/q82.html)
22. 40人のクラスで、英語が好きな人が25人、数学が好きな人が20人、両方好きな人が10人いる。英語または数学が好きな人（和集合）は何人か。
和集合の人数は25＋20−10＝35人（両方を二重に数えた分を引く）。 (IPA「ITパスポート試験 シラバス Ver.6.5」テクノロジ系 基礎理論／離散数学（集合・ベン図）)
23. ド・モルガンの法則によると、「AかつB」の否定 NOT(A AND B) と等しいものはどれか。
ド・モルガンの法則により、NOT(A AND B)＝(NOT A) OR (NOT B) が成り立つ。 (IPA「ITパスポート試験 シラバス Ver.6.5」テクノロジ系 基礎理論／離散数学（論理演算・ド・モルガンの法則）)
24. コンピュータで扱う情報量の最小単位はどれか。
情報量の最小単位はビットで0か1の2通りを表し、8ビットで1バイトになる。 (IPA「ITパスポート試験 シラバス Ver.6.5」テクノロジ系 基礎理論／情報に関する理論（情報量・ビット）)
25. 1ビットで表せる値はどれか。
1ビットは0か1の2通りだけを表す情報の最小単位である。 (IPA「ITパスポート試験 シラバス Ver.6.5」テクノロジ系 基礎理論／情報に関する理論（情報量・ビット）)
26. nビットで表現できる状態の数はどれか。
各ビットが2通りなので、nビットでは2のn乗通りの状態を表現できる。 (IPA「ITパスポート試験 シラバス Ver.6.5」テクノロジ系 基礎理論／情報に関する理論（情報量・ビット、nビット＝2のn乗通り）)
27. アナログ情報をディジタル化するA/D変換の正しい手順はどれか。
A/D変換は、標本化（一定間隔で値を取り出す）→量子化（段階値に区切る）→符号化（2進数で表す）の順に行う。 (IPA「ITパスポート試験 シラバス Ver.6.5」テクノロジ系 基礎理論／情報に関する理論（ディジタル化：標本化・量子化・符号化）)
28. A/D変換における「標本化（サンプリング）」の説明として適切なものはどれか。
標本化は、連続的なアナログ信号を一定間隔で区切って値を取り出す処理である。 (IPA「ITパスポート試験 シラバス Ver.6.5」テクノロジ系 基礎理論／情報に関する理論（ディジタル化：標本化・量子化・符号化）)
29. A/D変換における「量子化」の説明として適切なものはどれか。
量子化は、標本化した値を決められた段階（レベル）の近い値に対応づける処理である。 (IPA「ITパスポート試験 シラバス Ver.6.5」テクノロジ系 基礎理論／情報に関する理論（ディジタル化：標本化・量子化・符号化）)
30. A/D変換における「符号化」の説明として適切なものはどれか。
符号化は、量子化した段階値を2進数（ビット列）に置き換える処理である。 (IPA「ITパスポート試験 シラバス Ver.6.5」テクノロジ系 基礎理論／情報に関する理論（ディジタル化：標本化・量子化・符号化）)
31. 文字を数値の並び（コード）で表す規則を何というか。
文字と数値を対応づける規則が文字コードで、ASCIIやUnicodeなどがある。 (IPA「ITパスポート試験 シラバス Ver.6.5」テクノロジ系 基礎理論／情報に関する理論（文字コード：ASCII・Unicode・シフトJIS）)
32. 世界の多くの言語の文字を統一的に扱えるように定められた文字コードはどれか。
Unicodeは多言語の文字を1つの体系で扱える文字コードである（ASCIIは英数字中心、シフトJISは日本語向け）。 (IPA「ITパスポート試験 シラバス Ver.6.5」テクノロジ系 基礎理論／情報に関する理論（文字コード：ASCII・Unicode・シフトJIS）)
33. 100種類の文字を1文字ずつ区別して表すには、最低何ビット必要か。
6ビットは2の6乗＝64通りで足りず、7ビットは2の7乗＝128通りで100種類を区別できる。 (IPA「ITパスポート試験 シラバス Ver.6.5」テクノロジ系 基礎理論／情報に関する理論（情報量・ビット、nビット＝2のn乗通り）)
34. A/D変換で量子化ビット数を3ビットとすると、標本化した値は何段階のレベルで表せるか。
3ビットで表せる状態は2の3乗＝8通りなので、8段階のレベルで表現できる。 (IPA「ITパスポート試験 シラバス Ver.6.5」テクノロジ系 基礎理論／情報に関する理論（ディジタル化：量子化）)
35. 2進数で負数を表す「2の補数」の求め方として、正しいものはどれか。
2の補数は、正数の全ビットを反転（1の補数）し、それに1を加えて求める。これにより減算を加算だけで扱える。 (IPA「ITパスポート試験 シラバス Ver.6.5」テクノロジ系 基礎理論／離散数学（補数）／ITパスポート試験ドットコム 過去問（補数）)